ردپای مکانیک کوانتومی در اثبات مسئله میلیون دلاری فرضیه ریمان پس از یک و نیم قرن!

اکنون مکانیک کوانتومی، آنقدر رشد کرده و به بلوغ رسیده که می‌تواند به حل مسائل لاینحل رشته‌های دیگر هم کمک کند و این درست چیزی است که در پژوهشی که امروز در مورد صحبت می‌کنیم، اتفاق افتاده است. اگر یادتان باشد قبلا هم نمونه‌هایی از کمک کوانتوم به ریاضیات در دیپ لوک منتشر شده بود (مثلا فاکتورگیری اعداد اول)، اما این بار، پای یکی از بزرگترین مسائل حل‌نشده‌ی ریاضی به نام فرضیه ریمان در میان است. اگر نتایج این پژوهش، تایید شوند، فرضیه ریمان به‌طور نهایی اثبات خواهد شد. فرضیه ریمان آنقدر مهم است که موسسه ریاضی کلی آمریکا، پاداش یک میلیون دلاری را برای اثبات آن درنظر گرفته است. این پژوهش، به‌تازگی در مجله Physical Review Letters منتشر شده است. با دیپ لوک همراه باشید…
اگرچه تاریخچه فرضیه ریمان به سال ۱۸۵۹ برمی‌گردد، اما در صدسال گذشته، ریاضیدانان زیادی به دنبال یافتن یک تابع اپراتوری مانند چیزی که اینجا کشف شده، بوده‌اند. این نخستین بار است که یک اپراتور صریح و نسبتا ساده کشف شده که ویژه مقادیرش (یعنی جواب‌های آن در روش ماتریسی) دقیقا متناظر با صفرهای غیربدیهی تابع زتای ریمان هستند. در گام بعدی،‌دانشمندان باید ثابت کنند که تمام ویژه مقادیر آن، اعداد حقیقی هستند نه اعداد موهومی. اگر  دانشمندان بتوانند در پژوهش آینده‌ی خود، این گام را هم بردارند، در نهایت فرضیه ریمان ثابت خواهد شد.

فرضیه ریمان چیست؟

احتمالا می‌پرسید چرا اثبات فرضیه ریمان تااین اندازه‌، مهم است؟ زیرا این فرضیه به‌طور عمیقی به نظریه اعداد و به‌طور ویژه به اعداد اول پیوند خورده است. تاریخچه این فرضیه به سال ۱۸۵۹ برمی‌گردد، زمانیکه یک ریاضی‌دان آلمانی به نام ریمان در مقاله‌اش، چگونگی توزیع اعداد اول را مورد سوال قرار داد. سوال او دقیقا این بود: اگر N یک عدد صحیح باشد، چند عدد اول کوچکتر از N‌ وجود دارد؟
ریمان، حدس زد که توزیع اعداد اول کوچکتر از N، به جواب‌های صفر غیربدیهی یک تابع خاص، مرتبط است؛ تابعی که حالا تابع زتای ریمان (ζ(s نامیده می‌شود. (جواب‌های صفر، مقادیری از s هستند که تابع زتا را مساوی صفر می‌کنند). اگرچه ریاضیدانان می‌توانستند به راحتی بفهمند وقتی s یک عدد منفی زوج باشد، جواب‌های صفر وجود دارند، اما این صفرها به عنوان صفرهای بدیهی درنظر گرفته می‌شدند و بنابراین جذابیتی برای ریاضیدانان نداشتند. فرضیه ریمان این بود که تمام صفرهای غیربدیهی روی یک خط عمودی (½ + it) در صفحه مختلط قرار می‌گیرند، یعنی جز حقیقی آنها، همیشه ۱/۲ بوده، اما بخش موهومی i، با پایین و بالا رفتن روی خط، تغییر می‌کند.
در طول ۱۵۰ سال گذشته، ریاضیدانان به معنای واقعی کلمه، تریلیون صفر غیربدیهی پیدا کرده‌اند و تمام آنها، یک بخش حقیقی ۱/۲ دارند، درست همانطور که ریمان فکر می‌کرد. اعتقاد عمومی بر این است که فرضیه ریمان، درست است و بسیاری از پژوهش‌ها، برپایه‌ی آن انجام شده، اما برخلاف تلاش‌های زیادی که برای اثبات آن صورت گرفته، این بیان که تمام صفرها روی چنین خطی قرار می‌گیرند، هنوز ثابت نشده است.

جواب‌های یکسان

یکی از مهم‌ترین سرنخ‌های اثبات فرضیه ریمان، از نظریه تابع سرچشمه می‌گیرد. طبق این نظریه، مقادیر بخش موهومی t در جاییکه تابع به صفر می‌رسد، اعداد گسسته هستند. بدین ترتیب این نتیجه بدست می‌آید که صفرهای غیربدیهی، مجموعه‌ای از اعداد گسسته و حقیقی را می‌سازند. این مجموعه، درست مانند ویژه مقادیر تابع دیگری هستند که یک اپراتور دیفرانسیلی نامیده می‌شود، تابعی که به‌طور وسیعی در فیزیک استفاده می‌شود.
در اوایل دهه‌ی ۱۹۰۰، این تشابه منجر شد تا برخی ریاضیدانان بپرسند آیا واقعا چنین اپراتور دیفرانسیلی وجود دارد که ویژه مقادیرش دقیقا متناظر با صفرهای غیربدیهی تابع زتای ریمان باشد؟ امروزه این ایده، حدس هیلبرت-پولیا نامیده می‌شود که از نام دو ریاضیدان دیوید هیلبرت و جورج پولیا سرچشمه می‌گیرد. جالب اینجاست که هیچ یک از این دو ریاضیدان، چیزی در این مورد منتشر نکردند! از آنجایی که هیچ مقاله‌ یا کتابی از هیلبرت یا پولیا وجود ندارد، بیان دقیق و یگانه‌ای از حدس هیلبرت-پولیا وجود ندارد، اما به طور کلی، این حدس، دو گام دارد: ۱- پیدا کردن یک عملگر که ویژه مقادیر آن، متناظر با صفرهای غیربدیهی تابع زتای ریمان هستند ۲- تعیین اینکه ویژه مقادیر، حقیقی هستند. محققان این پژوهش تازه می‌گویند:

تاکنون تمرکز اصلی کار ما، روی مرحله ۱ بوده است. ما اپراتوری پیدا کرده‌ایم که ویژه مقادیرش به طور دقیق متناظر با صفرهای غیربدیهی تابع زتای ریمان است. ما فقط در مورد مرحله دوم، فکر کرده‌ایم و اینکه چگونه باید این چالش را دور بزنیم، اما برای حل عملی آن، به پژوهش بیشتری نیاز است.

ردپای کوانتوم…

یکی از نکات جالب در مورد این عملگر تازه کشف‌شده، رابطه‌ی نزدیک آن با فیزیک کوانتومی است. در سال ۱۹۹۹، وقتی دو ریاضی-فیزیکدان، به نام‌های مایکل بری و جاناتان کیتیگ در حال بررسی حدس هیلبرت-پولیا بودند، حدس مهم دیگری زدند. آنها گفتند اگر چنین عملگری وجود داشته باشد، باید متناظر با یک سیستم کوانتومی نظری با ویژگی‌های خاص باشد (که اکنون به حدس بری-کیتیگ معروف شده است)، اما تاکنون هیچ کس چنین سیستمی را پیدا نکرده بود و این دومین جنبه‌ی مهم و بدیع این پژوهش جدید است. دانشمندان می‌گویند:

ما یک شرط کوانتش را برای هامیلتونی بری-کیتیگ کشف کرده‌ایم که اعتبار حدس بری-کیتینگ را تایید می‌کند.

هامیلتونی‌ها اغلب برای توصیف انرژی سیستم‌های فیزیکی استفاده می‌شوند، اما به نظر می‌رسد این عملگر جدید، هیچ سیستم فیزیکی خاصی را توصیف ‌نمی‌کند، بلکه فقط یک تابع خالص ریاضی است. آنها می‌گویند:

ممکن است ناامیدکننده باشد، اما به نظر نمی‌رسد این هامیلتونی، سیستم های فیزیکی را به شیوه‌ی واضحی توصیف کند، حداقل ما تاکنون نشانه‌ا‌ی پیدا نکرده‌ایم که هامیلتونی ما به یک سیستم فیزیکی مرتبط باشد. شاید کسی بپرسد چرا این مقاله را در مجله PRL که یک مجله فیزیکی به‌شمار می‌آید، منتشر کرده‌اید؟ زیرا بسیاری از تکنیک‌های مورد استفاده در این مقاله‌، از تکنیک‌های شبه هرمیتی و متقارن ازنظر پاریته و زمان (PT-symmetric) در نظریه کوانتوم وام گرفته شده که طی ۱۵ سال گذشته، توسعه داده شده‌اند. درک سنتی حدس هیلبرت-پولیا این است که عملگر (یا همان هامیلتونی) باید هرمیتی باشد. هرمیتی بودن، مفهومی است که به وفور در نظریه کوانتوم با آن برخورد می‌کنیم. در مکانیک کوانتومی، هامیلتونی‌ها باید هرمیتی باشند. ما در حال توسعه‌ی یک شکل شبه هرمیتی حدس هیلبرت-پولیا هستیم که برای پژوهش‌های آینده‌ی ما بسیار ارزشمند است.

جواب‌ های حقیقی

حالا بزرگترین چالشی که باقی می‌ماند این است که نشان دهیم که ویژه مقادیر این عملگر، اعداد حقیقی هستند. محققان به حقیقی بودن ویژه مقادیر، خوش‌بین هستند. البته این خوش‌بینی، بی اساس نیست. در واقع آنها یک استدلال قوی براساس تقارن PT مطرح کرده‌اند. تقارن PT می‌گوید شما می‌توانید علامت هر چهار مولفه‌ی فضا-زمان (سه بعد فضا یا پاریته و یکی زمان) را تغییر دهید و در صورتی که سیستم شما نسبت به زمان و پاریته، متقارن باشد(PT-symmetric)، نتیجه با ابتدا یکسان خواهد بود. اگرچه طبیعت، PT‌-متقارن نیست، اما عملگری که فیزیکدانان ساخته‌اند، PT-متقارن است. حالا محققان می‌خواهند نشان دهند که این تقارن، شکسته می شود. آنها می‌گویند اگر تقارن PT بخش موهومی این عملگر، شکسته شود، می‌توان استنتاج کرد که ویژه مقادیر آن، همگی اعداد حقیقی هستند. در نتیجه فرضیه ریمان پس از یک و نیم قرن، ثابت خواهد شد!

مقاله اصلی را در زیر مشاهده کنید:

[gview file=”http://www.deeplook.ir/wp-content/uploads/2017/04/10.1103@PhysRevLett.118.130201.pdf” profile=”3″ save=”1″]