کلاس درس کوانتوم، قسمت هفتم: داستان تقارن تابع موج ، فرمیون و بوزون

9

پس از شش قسمت از مجموعه مقالات کلاس درس کوانتومی، در قسمت هفتم به سراغ تقارن تابع موج می رویم. مفهوم تقارن در دنیای کوانتومی با معنی آن در دنیای روزمره و ماکروسکوپی، بسیار متفاوت است، بنابراین سناریوی امروز را با توضیح تقارن تابع موج آغاز می کنیم و در ادامه ی داستان به سراغ دو مفهوم برآمده از آن، یعنی فرمیون و بوزون می رویم. با دیپ لوک همراه باشید…

پرده ی اول: تقارن تابع موج

 

وقتی اشیای دنیای ماکروسکوپی را توصیف می کنیم، اغلب از کلماتی مانند “یکسان” یا “همان” استفاده می کنیم. مثلا می توانیم ادعا کنیم که دو گوشی آیفون ۶ اس، یکسان هستند. اما این فقط یک نگاه خام است! اگرچه در نگاه اول، هیچ تفاوتی بین این دو گوشی، احساس نمی کنیم، اما آنها واقعا یکسان نیستند و در مقیاس ملکولی با یکدیگر تفاوت دارند. از طرفی، در دنیای ماکروسکوپی، می توانیم این دو گوشی به اصطلاح یکسان را از یکدیگر تفکیک کنیم، مثلا می توانیم یکی را با رنگ آبی و دیگری را با رنگ قرمز، علامت گذاری کنیم. اما در جهان میکروسکوپی، کلمات “همسان” یا “قابل تشخیص”، معنای کاملا متفاوتی دارند. هر دو ذره ی کوانتومی (مانند الکترون، پروتون، فوتون و …) کاملا با یکدیگر یکسان هستند و هیچ راهی برای جدا کردن و تفکیک آنها وجود ندارد، چرا که در این مورد، نمی توانیم، یکی را علامتگذاری کنیم. در واقع، علامت گذاری یک الکترون با رنگ های متفاوت، غیرممکن است، زیرا در جهان کوانتومی، حتی رنگ هم معنی ندارد!

اجازه دهید برای درک بهتر این موضوع، به سراغ توپ های رنگی دوران کودکی برویم. فرض کنید یک توپ آبی و یک توپ قرمز و دو سبد دارید و میخواهید آنها را در دو سبد توزیع کنید. چند راه برای توزیع آنها، وجود دارد؟ شکل زیر، چهار حالت ممکن برای توزیع دو توپ در دو سبد را نشان می دهد.

تقارن تابع موج

طبق شکل بالا، با احتمال ۵۰ درصد، دو توپ را درکنار هم در یک سبد خواهید دید (۲۵ درصد دو توپ در سبد سمت راست و به احتمال ۲۵ درصد هر دو توپ در سبد سمت چپ) و به احتمال ۵۰ درصد هم دو توپ در سبدهای جداگانه خواهند بود (۲۵ درصد توپ قرمز در سبد سمت راست و به احتمال ۲۵ درصد توپ قرمز در سبد سمت چپ). اما صبر کنید! این ها فقط توپ های ماکروسکوپی هستند در حالیکه ما درباره ی ذرات کوانتومی صحبت می کنیم، پس اجازه دهید، داستان را با توپ های کوانتومی ادامه دهیم. توپ های کوانتومی می توانند در یک برهم نهی از حالت های کوانتومی قرار داشته باشند. حالا دوباره فرض کنید میخواهیم دو توپ را در دو سبد توزیع کنیم. باز هم با چهار حالت به شکل زیر مواجه می شویم:

تقارن تابع موجهمانطور که در بالا اشاره کردیم، ذرات یا توپ های کوانتومی، مانند یکدیگر هستند و هیچ راهی برای برچسب گذاری آنها وجود ندارد. بنابراین صحبت از توپ قرمز یا آبی بی معناست. در شکل بالا هم، فقط برای درک بهتر روش های توزیع، رنگ ها را همچنان حفظ کرده ایم. در اینجا باز هم با چهار حالت، مواجه هستیم که در دو مورد آن، هر دو توپ در یک سبد و در دو مورد دیگر، هر یک از توپ ها در یک سبد جداگانه قرار گرفته اند. در موردی که هر دو توپ در یک سبد قرار میگیرند (نیمه ی بالایی شکل)، مسئله ی دشواری وجود ندارد. اما زمانیکه توپ ها در سبدهای جداگانه قرار می گیرند، قضیه کمی پیچیده تر می شود چرا که توپ ها می توانند در یک برهم نهی قرار بگیرند. همانطور که در نیمه پایینی شکل هم دیده می شود، یک توزیع، حالتی است که توپ آبی در سبد راست به اضافه ی زمانیکه در سبد چپ قرار بگیرد. توزیع بعدی مربوط به تفریق همین دو حالت است. اگرچه علامت منفی، کمی عجیب به نظر می رسد، اما یادتان باشد چهار حالت بالا، فقط توزیع های احتمال هستند و ما برای بدست آوردن احتمال، باید آن ها را به توان دو برسانیم، بنابراین در نهایت علامت منفی در احتمال ها وجود نخواهد داشت و این همان نکته ای که همیشه در مورد احتمال ها می دانستیم: احتمال ها همیشه مثبت هستند.

پرده ی دوم: فرمیون و بوزون

فیزیکدانان علاقمندند جهان را به دو دسته تقسیم کنند:ماده ی معمولی و ماده ی تاریک، رسانا و نارسانا، لپتون و کوارک ها. برخی از این دسته بندی ها فقط برای راحتی و به طور اختیاری انجام می شوند، در حالیکه برخی، بنیان طبیعت را توصیف می کنند. یکی از این دسته بندی های بنیادی، بوزون ها و فرمیون ها هستند، مفاهیمی که بدون آنها، گیتی به شکلی که امروز میشناسیم، وجود نداشت!

راه های زیادی برای تعریف تفاوت بین این دو مفهوم وجود دارد: فیزیکدانان متخصص ذرات بنیادی، بوزون ها را به عنوان ذرات حامل نیرو و فرمیون ها را به عنوان ذرات ماده در نظر می گیرند، اما این دو مفهوم، به طور استاندارد بر اساس اسپین، تعریف می شوند. فرمیون ها دارای اسپین نیمه صحیح و بوزون ها دارای اسپین صحیح هستند. همین تفاوت به نظر ساده، اثرات بسیار عمیقی بر ساختار کائنات گذاشته است. فرمیون ها درست مانند آدم های منزوی و گوشه گیری هستند که به هیچ وجه، جمع شدن در کنار یکدیگر را دوست ندارند، در حالیکه بوزون ها، موجوداتی بسیار اجتماعی هستند و دوست دارند همیشه با یکدیگر باشند.

حالا بهتر است تفاوت فرمیون و بوزون را در بحث تقارن تابع موج نشان دهیم. در واقع هر یک از سبدها در شکل ۱ و ۲، نقش یک تابع موج ψ را بازی می کند. با این حساب چهار حالت شکل ۲ را با استفاده از تابع موج می توان به شکل زیر نمایش داد:

656565656حالت اول بدان معناست که هر دو ذره (توپ) در تابع موج اول (سبد اول) قرار گرفته اند و همین طور الی آخر. علامت Φ نشان دهنده ی تابع موج کلی هر توزیع است. تفاوت فرمیون ها و بوزون ها با استفاده از تقارن تابع موج به صورت زیر تعریف می شود:

در شرط بالا، تابع موج متقارن به تابعی گفته می شود که با جا به جا کردن ذرات (یعنی جابه جاکردن ۱ و ۲های داخل پرانتزها)، همان تابع اولیه را بدهد و تابع موج پادمتقارن به تابعی گفته می شود که در صورت جابجایی ذرات، به منفی تابع اولیه تبدیل شود. اجازه دهید این شرط را در هر چهار تابع Φ آزمایش کنیم. اگر جای دو ذره را در Φ۱ و Φ۲ عوض کنیم، باز به همان تابع موج اولیه میرسیم، بنابراین این دو تابع موج، متقارن هستند. در مورد دو تابع Φ۳ و Φ۴ طبق شکل زیر اگر جای دو ذره را عوض کنیم، به ترتیب به Φ۳ و Φ۴- می رسیم. در نتیجه Φ۳ متقارن و Φ۴ پاد متقارن است.

34353453

در نتیجه سه تابع موج Φ۲، Φ۱ و Φ۳ متقارن بوده و می توانند به عنوان تابع موج بوزون ها استفاده شوند، در حالیکه برای فرمیون ها فقط یک انتخاب داشته و تنها تابع موج Φ۴ را می توانیم استفاده کنیم. حالا می توانیم دلیل اجتماعی بودن بوزون ها و گوشه گیر بودن فرمیون ها را درک کنیم: تنها تابع موجی که برای فرمیون ها، مجاز است، حالتی است که دو توپ جدا از یکدیگر هستند و در مقابل، از بین سه حالتی که برای بوزون ها مجاز است، دو حالت آن مربوط به زمانی است که توپ ها در کنار هم و در یک سبد قرار گرفته اند. بنابراین، شاید فرمیون ها زیاد هم گوشه گیر نباشند، چرا که آنها چاره ی دیگری ندارند! نکته ای که باید به آن توجه کنیم این است که اجتماعی یا منزوی بودن بوزون ها و فرمیون ها ناشی از نیروهای جاذبه ای یا دافعه ای بین آنها نیست، بلکه مستقیما ناشی از شرط متقارن یا پاد متقارن بودن تابع موج آنهاست و بنابراین بیش از آنکه یک واقعیت فیزیکی باشد، یک شرط ریاضی است. ساتیندرا بوز، فیزیکدان بنگالی، قوانین حاکم بر بوزون ها را بدست آورد و واژه ی “بوزون” نیز به افتخار او گذاشته شده است. انریکو فرمی نیز کسی بود که قوانین ذرات فرمیون مانند را استخراج کرد و وجه تسمیه ی “فرمیون” نیز همین است.

پرده ی سوم: داستان متقارن و پادمتقارن از کجا نشات می گیرد؟

شاید برای شما هم این سوال پیش آمده باشد: چرا باید تابع موج فرمیون ها، پاد متقارن و تابع موج بوزون ها، متقارن باشد؟ پاسخ این سوال، خیلی سرراست و واضح نیست. در واقع مکانیک کوانتومی کلاسیکی در برابر این سوال سکوت می کند. پاسخ این سوال را باید در مکانیک کوانتومی نسبیتی، جستجو کنیم. بهتر است بگوییم قانون تقارن تابع موج از دل مکانیک کوانتومی نسبیتی، بیرون آمده است. به طور کلی چهار فاکتور ناوردایی لورنتس، انرژی های مثبت، نرم های مثبت و علیت در کنار هم ثابت می کنند که ذرات با اسپین صحیح از آمار بوز-اینشتین (پادمتقارن بودن تابع موج) و ذراتی با اسپین نیمه صحیح از آمار فرمی-دیراک (متقارن بودن تابع موج) پیروی می کنند. در واقع، فرمیون ها محکوم به داشتن تابع موج پادمتقارن هستند، زیرا در غیر اینصورت، بی نهایت تراز انرژی منفی وجود خواهد داشت که به چالش انرژی منفی شهرت دارد. اطلاعات بیشتر در این مورد را می توانید در کتاب “مقدمه ای بر نظریه ی میدان کوانتومی” نوشته ی Peskin و Schroder، (صفحه ی ۵۲) پیدا کنید. کتاب “نظریه ی میدان کوانتومی و مدل استاندارد” نوشته ی Schwartz هم منبع خوب دیگری برای مطالعه ی مفصل تر و البته ریاضیاتی تر شما خواهد بود. (با کلیک بر روی نام دو کتاب می توانید آن ها را به طور مستقیم دانلود کنید، همچنین هر دو کتاب در بروزرسانی آینده ی دانلودکده، قرار داده خواهند شد)

پرده ی چهارم: یک تفاوت کوچک، اما طوفانی!

 باید خوشحال باشیم که دنیای ما از دو نوع ذره ی فرمیون و بوزون ساخته شده است، زیرا در غیر اینصورت نه ماده ای وجود داشت، نه کهکشانی و نه انسانی. تمام نظمی که در شیمی مشاهده می شود، نتیجه ی مستقیمی از این واقعیت است که الکترون یک فرمیون است! از آنجایی که الکترون ها، فرمیون هستند، پس باید تابع موج پادمتقارن داشته باشند و این بدان معناست که شما نمی توانید دو الکترون را در یک حالت یکسان قرار دهید. وقتی در طول جدول تناوبی حرکت می کنیم و از یک عنصر به عنصر بعدی می رویم، یک الکترون (و البته یک پروتون)، اضافه می شود، اما نکته اینجاست که به دلیل فرمیون بودن الکترون، نمی توانید آن را در همان مکان اشغال شده ی عنصر قبلی قرار دهید. به این ترتیب است که الکترون های عناصر سنگین تر، در ترازهای بالاتری قرار خواهند گرفت. اگر الکترون ها، بوزون بودند، خیلی خوشحال در پایین ترین انرژی، دورهمی می گرفتند و نتیجه ی فاجعه بار آن بود که تمام مواد، مانند هیدروژن رفتار می کردند!

در این قسمت، سه مفهوم بسیار مهم تقارن تابع موج ، فرمیون و بوزون را با زبانی ساده بررسی کردیم، اما پشت این مفاهیم شگفت انگیز، اقیانوسی از ریاضیات زیبا و البته پیچیده وجود دارد که حاصل تلاش دانشمندان بزرگ و جسور است. اگر این قسمت را خوب درک کرده باشید، باید یادتان باشد کائنات را حتما با عینک تقارن نگاه کنید، زیرا بدون این عینک، اصلا چیزی برای نگاه کردن وجود ندارد!

زاده ی اردیبهشت ۶۹ و دانشجوی دکترای شیمی کوانتوم محاسباتی در دانشگاه شهید بهشتی است.او علاقمند به دنیای کوانتوم، تکنولوژی، فوتبال و موسیقی (رپ/راک) بوده و علاوه بر سردبیری دیپ لوک، به طراحی وب و نویسندگی در گجت نیوز، بیگ تم و ماهنامه GB جی اس ام مشغول است.

گفتگو۹ دیدگاه

  1. واقعا ممنونم از آموزش های بسیار زیبا و دقیقتون که نشانه از درک عمیق شما بر مطلب و علاقه به انتشار علم دارد
    ممنون میشم اگه جلسات آموزشیتونو زود تر بروز کنین و سریع تر مطالب رو پیش ببرین تا بنده و دیگر علاقه مندان استفاده بیشتر و بهتری ببریم
    با عرض خسته نباشید و تشکر فراوان

    • ناهید سادات ریاحی

      سپاسگزارم دوست خوبم از اظهار لطفتون. متاسفانه به علت کمبود وقت، جلسات کمی به تعویق می افتاد، اما خوشبختانه چند جلسه آینده، نیمه آمادس و سعی میکنم در اولین فرصت منتشر کنم.

  2. سلام ممنونم از مطالب ارزشمندتون
    براتون مرتب دعا می کنم – بشدت منتظر بقیه مطالبتون هستم .

  3. محمد مهدی دوستی

    ممنون از پست هاتون قضیه کوانتوم مقداری عجیب مثلا این که یک الکترون در دو جا باشه و.. انگار شما شب تو زمین بخوابی تو مریخ بیدار شی البته این پدیده به علت بالای الکترون ها اتفاق نمی افته یادمه حتی کار این احتمالات به جایی رسید که خود اینیشتن گفت خدا تاس بازی نمی کنه راستی خانم ریاحی کتابی که از پایه فیزیک کوانتوم بررسی کنه می شه معرفی کنید؟

    • ناهید سادات ریاحی

      دوستان زیادی درخواست کتابهای مقدماتی و پایه ای برای مطالعه کوانتوم کردند، سعی می کنم به زودی، در یک پست، چند کتاب خوب رو معرفی کنم

  4. سلام
    ممنون ، از مطالب ارائه شده استفاده کردم. بطور ساده چگونگی حل و بدست آوردن معادلات ویژه حالات و مقادیر بوزون ها را کجا مطالعه کنم؟
    با آرزوی سلامتی و موفقیت برای شما

  5. با سلام و آرزوی موفقیت برای شما
    واقعا از زحمات شما در بررسی و توضیح بسیار زیبا و عمیق مطالب تشکر می کنیم

ارسال نظر


*