مواد، به‌صورت فازهای مختلفی در طبیعت وجود دارند. فازهایی که ما می‌شناسیم، شامل فازهای مایع، جامد و گاز است که به صورت طبیعی در بیشتر سیستم‌های فیزیکی قابل مشاهده است. اما با پیشرفت علم و ورود انسان به دنیای ذرات بنیادین، کشف ذرات بنیادین جدید و مهم‌تر از همه بنا نهادن فیزیک کوانتوم، منجر به ظهور فازهای جدید مواد شد. این تعدد فازها، دانشمندان را ترغیب کرده تا با مطالعه‌ی ویژگی فازهای جدید، آنها را از یکدیگر متمایز کرده و سرانجام دسته بندی کنند، درست مانند کاری که مندلیف با عناصر کرد و به جدول تناوبی امروزی رسید. دانشمندان معتقدند دسته‌بندی فازها مانند جدول تناوبی، نه تنها به درک این فازها، بلکه به پیش‌بینی و شناسایی فازهای جدید نیز کمک کند. در مطالعه‌ی این قسمت از دنیای فیزیک نیز، ریاضی و در اینجا، ریاضیات توپولوژی نقش مهمی ایفا می‌کند؛ بطوری که به کمک علم توپولوژی، مفهومی به نام فاز توپولوژیکی بوجود آمده است. با دیپ‌لوک همراه باشید…
در سه دهه‌ی گذشته فیزیکدانان ماده چگال، حالت شگفت‌انگیزی از فازهای جدید ماده که شامل فاز توپولوژیکی نیز می‌شود را کشف کرده‌اند: پدیدههای ظهوریافته و مجموعه حالت‌هایی از ذرات دارای برهم‌کنش که شبیه هیچ یک از جامدات، مایعات و گازهایی که در پدیدههای رایج مشاهده می‌کنیم، نیستند.
فازهایی که در آزمایشگاه تحقق می‌یابند یا به صورت نظری، پیش‌بینی می‌شوند، زمانی بوجود می‌آیند که ماده تقریباً تا دمای صفر مطلق، صدها درجه پایین‌تر از دمایی که آب منجمد می‌شود، سرد شده باشد. در چنین شرایط بسیار سردی، ذرات می‌توانند به گونه‌ای با یکدیگر برهم‌کنش کرده و اثر بگذارند که تمام نشانه‌های هویت اصلی آنها از بین برود و ماده جدیدی به وجود آید. آزمایش‌هایی که در دهه‌ی ۱۹۸۰ انجام شد، نشان داد در برخی مواقع، الکترون‌ها به کسرهایی از ذرات، تقسیم شده و باعث ایجاد مسیرهایی در فضا-زمان می‌شوند. در موارد دیگر، آنها نسخه‌های بدون جرم خود را می‌سازند. شبکه‌ای از اتم‌های در حال چرخش، تبدیل به جریانی از حلقه‌های چرخش یا طناب‌های شاخه‌دار می‌شوند؛ کریستال‌هایی که در ابتدا بعنوان عایق تشکیل می‌شوند، و شروع به هدایت الکتریکی در سطح خود می‌کنند. فازی که متخصصان را در سال ۲۰۱۱ و به عنوان یک احتمال ریاضی، شوکه کرد، ذره-گونه‌ی فرکتون (fracton) بود که در الگوهای فراکتال، در هم قفل می‌شوند.
در حال حاضر، گروه‌های تحقیقاتی زیادی از جمله مایکروسافت، برای رمزگشایی اطلاعات کوانتومی در نوارها و حلقه‌های این فازها به منظور توسعه‌‌ی کامپیوتر کوانتومی تلاش می‌کنند. در عین حال، نظریه‌پردازان ماده چگال، به تازگی قدم‌های بزرگی برای درک الگوی نهفته در رفتارهای جمعی متفاوت این فازها برداشته‌اند تا بتوانند تمامی فازهای ماده را شمرده و طبقه‌بندی کنند. اگر چنین طبقه‌بندی کاملی حاصل شود، نه تنها تمام فازهای موجود در طبیعت،دسته‌بندی می‌شوند، بلکه به‌طور بالقوه، مسیری به سوی مواد و تکنولوژی‌های جدید باز می‌شود.
دانشمندان در پژوهشی که توسط ده‌ها نظریه پرداز برتر و با رویکرد ریاضی انجام شده، طیف وسیعی از فازهای قابل حصول در یک یا دو بعد فضایی که به توپولوژی مربوط می‌شوند را طبقه‌بندی کرده‌اند: این پژوهش دارای محاسبات ریاضی است که ویژگی‌های غیرقابل تغییر اَشکالی مانند کره و چنبره را بیان می‌کند. آنها همچنین اقدام به کشف دسته‌ای از فازهای قابل حصول در نزدیکی دمای صفر مطلق در مواد سه بعدی کرده‌اند.
مایکل زالتل (Micheal Zaletel)، نظریه پرداز ماده چگال در دانشگاه پرینستون می‌گوید:
این دانشمندان به دنبال یک قانون خاص از فیزیک نیستند، بلکه به دنبال فضایی هستند که شامل تمام احتمالات باشد، که ایده‌ی قشنگ‌تر و عمیق‌تری است. شاید فضای شامل تمام فازهای ممکن، یک شی ریاضی باشد که به طرز باورنکردنی به یک ساختار غنی ختم می‌شود که در یک و دو بۤعد، در تناظر یک به یک با این ساختارهای توپولوژیکی زیبا باشد.
آشوین ویشواناس (Ashvin Vishwanath) از دانشگاه هاروارد در دورنمای فازها، «اقتصاد گزینه‌ها» را مطرح می‌کند. همه‌ی گزینه‌ها، قابل درک به نظر می‌رسند، یک خوش‌شانسی سردرگم‌کننده. ویشواناس می‌گوید:
شمارش فازهای ماده می‌تواند مانند جمع‌آوری یک کلکسیون تمبر باشد، هر کدام به قدری متفاوت‌اند، و در عین حال هیچ ارتباطی بین تمبرهای متفاوت وجود ندارد. در مقابل، طبقه‌بندی فازها بیشتر شبیه جدول تناوبی است. عناصر زیادی وجود دارد، اما آنها داخل دسته‌بندی‌هایی قرار می‌گیرند که می‌توانیم آنها را درک کنیم.
شاید طبقه‌بندی رفتارهای ذرات ظهوریافته، بنیادی به نظر نرسد، اما برخی متخصصان مانند شیائو گنگ ون (Xiao-Gang Wen) از MIT معتقدند قواعد جدید فازهای در حال پیدایش، نشان می‌دهد چگونه خود ذرات بنیادی از یک شبکه‌ی بنیادی‌تر بوجود می‌آیند که این شبکه از بیت‌های اطلاعات کوانتومی غوطه‌ور در آن شبکه تشکیل می‌شود. ون، این شبکه را «اقیانوس کیوبیت» می‌نامد؛ مثلا فاز «مایع ریسمان-شبکه» (string-net liquid) که می‌تواند در یک سیستم سه بعدی از کیوبیت‌ها ظهور یابد، برانگیختگی‌هایی دارد که مشابه تمام ذرات بنیادی به نظر می‌رسد. بنابر گفته‌ی ون، «یک الکترون واقعی و یک فوتون واقعی شاید تنها تغییراتی از ریسمان-شبکه باشند».
یک مرتبه‌ی توپولوژیکی جدید
قبل از پیدایش فازهای دمای صفر مطلق مانند فاز توپولوژیکی فیزیکدانان تصور می‌کردند تمام فازها را کشف کرده‌اند. آنها تا دهه‌ی ۱۹۵۰ میلادی می‌توانستند به خوبی، اتفاقات و پدیدههای فیزیکی را توضیح دهند؛ برای مثال، دلیل انجماد آب به یخ را اینطور بیان می‌کردند که تقارن ماده شکسته می‌شود: آب مایع، در مقیاس اتمی تقارن چرخشی دارد (از هر جهت به یک شکل دیده می‌شود) اما مولکول‌های یخ، در ردیف‌ها و ستون‌های کریستالی قفل می‌شوند.
در سال ۱۹۸۲ همه چیز با کشف فازهایی در یک گاز دو بعدی بسیار سرد از الکترون‌ها که حالت‌های کسری کوانتومی هال (fractional quantum Hall states) نامیده می‌شدند، تغییر کرد. این حالت‌های عجیب از ماده، ذرات ظهوریافته‌ای با بار الکتریکیِ کسری از بار یک الکترون نشان می‌دهند. ون معتقد است هیچ راهی برای تشخیص اختلاف بین این فازها با استفاده از تقارن، وجود ندارد.
بنابراین به یک الگوی جدید نیاز بود. در سال ۱۹۸۹، ون فازهایی مانند حالت‌های کسری کوانتومی هال تصور کرد؛ با این تفاوت که نه بر روی یک صفحه، بلکه بر روی منیفلدهای (فضاهای متصل به هم مشابه سطح یک کره یا چنبره) توپولوژیکی متفاوت بوجود می‌آمدند. توپولوژی به ویژگی‌های عمومی و نامتغیر چنین فضاهایی مربوط می‌شود که با تغییرات موضعی، تغییر نمی‌کنند. آنطور که مشهور است، چون یک دونات و یک فنجان قهوه‌خوری، هر دو دارای یک حفره در سطح خود و به لحاظ توپولوژیکی یکسان هستند، شما می‌توانید برای یک توپولوژیست، دونات را به یک فنجان قهوه‌خوری تبدیل کنید، به این سادگی که فقط شکل سطح آن را تغییر دهید. شما می‌توانید تا جایی که می‌توانید و دوست دارید، آن را بکشید یا فشرده کنید، اما در این حالت حتی انعطاف‌پذیرترین دونات نیز به یک چوب‌شور تقلیل می‌یابد.
ون متوجه شد ویژگی‌های فازهای دمای صفر، قبلاً در ساختارهای توپولوژیکی متفاوت آشکار شده بودند و او عبارت «مرتبه‌ی توپولوژیکی» را ابداع کرد تا ذات این فازها را توصیف کند و به تدریج باعث بوجود آمدن مفهوم فاز توپولوژیکی شد. نظریه‌های دیگر نیز متوجه ارتباطهایی به توپولوژی شده بودند. با کشف فازهای شگفت‌انگیز بیشتر، مشخص شد که توپولوژی همراه با تقارن، نظریه‌ی سازماندهی خوبی ارائه می‌کند.
فاز توپولوژیکی تنها در نزدیکی دمای صفر مطلق نمایان می‌شود، به این دلیل که تنها در چنین دماهای پایینی می‌توان سیستم‌هایی از ذرات را در پایین‌ترین سطح انرژی یا تراز پایه‌ی کوانتومی آنها نگه داشت. در تراز پایه، برهم‌کنش‌های ضعیفی که می‌توانند روی ماهیت ذرات تاثیر بگذارند (اثراتی که در دماهای بالا از بین می‌روند) به صورت درهم‌تنیدگی کوانتومی، ذرات را به یکدیگر متصل می‌کنند. به جای توصیف ریاضی مجزایی برای هر ذره، تمام ذرات به المان‌های یک تابع پیچیده‌تر تبدیل می‌شوند که همه آنها را یکباره توصیف می‌کند. معمولا این کار منجر به ظهور ذرات کاملا جدید بعنوان برانگیختگی‌هایی از فازهای جهانی می‌شود. الگوهای درهم‌تنیدگی حاصل شده، یا به طور توپولوژیکی و یا نسبت به تغییرات موضعی، بی‌تأثیر هستند، درست مانند تعداد حفره‌ها در یک منیفلد.
طبقه‌بندی فازها با استفاده از توپولوژی
افزون بر جامدات، مایعات و گازها، فازهای کوانتومی متعددی از مواد وجود دارد. این فازها از الگوهای جهانی درهم‌تنیدگی کوانتومی بوجود می‌آیند که به لحاظ توپولوژیکی، یا ثابت هستند یا بصورت محلی تاثیرناپذیرند. محققان مرتبه‌ی توپولوژیکی این فازها را با تصور رفتار آنها بر روی یک چنبره بدست آورده‌اند.
مایع اسپین کوانتومی
در این فاز، یک شبکه دو بعدی از ذرات در حال چرخش، حلقه‌هایی ایجاد می‌کنند که همه‌ی آنها به یک شکل می‌چرخند. البته تعداد و الگوی حلقه‌ها مانند یک لامپ گدازه در یک شار ثابت قرار دارد. پیچیدن سیستم دور یک چنبره، مشخص می‌کند که سیستم می‌تواند یکی از چهار حالت مجزا و به لحاظ توپولوژیکی ناوردا را اشغال کند.
ناوردایی توپولوژیکی: مرتبه‌ی توپولوژیکی همیشه ثابت باقی می‌ماند، حتی زمانی که حلقه‌ها بصورت کوانتومی تغییر کرده یا ترکیب شوند.
مایع ریسمان-شبکه
تنیدن این سیستم متشکل از ریسمان‌های شاخه‌دار و پیچ در پیچ دور یک چنبره، به یک فاز توپولوژیکی متفاوت و با حالت‌های ناوردای توپولوژیکی متفاوت از مثال بالا منجر می‌شود.
ساده‌ترین فاز توپولوژیکی در یک سیستم، که مایع اسپین کوانتومی نام دارد را در نظر بگیرید. چنین فازی، یک شبکه‌ی دو بعدی از اسپین‌ها یا ذراتی که اسپین بالا، پایین و یا احتمالی از هر کدام را بصورت همزمان داشته باشند، دربرمی‌گیرد. مایع اسپین در دمای صفر، نوارهایی از اسپین‌های رو به پایین ایجاد می‌کند و این نوارها حلقه‌های بسته‌ای را تشکیل می‌دهند. همانطور که جهت اسپین‌ها بصورت کوانتومی تغییر می‌یابد، الگوی حلقه‌ها نیز در سراسر ماده تغییر می‌کند: حلقه‌های اسپین پایین در حلقه‌های بزرگ‌تر ظاهر می‌شوند و به حلقه‌های کوچکتر تقسیم می‌شوند. در مایع اسپین کوانتومی، تراز پایه سیستم‌ها، یک برهم‌نهی کوانتومی از تمام الگوهای ممکن حلقه است.
برای درک الگوی درهم تنیدگی بعنوان یک مرتبه‌ی توپولوژیکی، مانند ون، یک مایع اسپین کوانتومی را تصور کنید که دور سطح یک چنبره با حلقه‌هایی که دور حفره چنبره تنیده شده‌اند، در حال چرخش باشد. به خاطر همین چرخیدن حفره، مایع اسپین به جای داشتن یک تراز پایه مربوط به برهم‌نهی، به چهار برهم‌نهی مختلف الگوهای حلقه، گره خورده است. یکی از این ترازها شامل تمام الگوهای ممکن حلقه همراه با تعدادی زوج از حلقه‌هایی است که دور حفره چنبره تنیده شده و تعدادی زوج از حلقه‌هایی که از دورن چنبره عبور می‌کند، است. تراز دیگر، شامل تعدادی زوج حلقه دور حفره و تعدادی فرد حلقه گذرنده از داخل حفره می‌شود؛ سومین و چهارمین تراز پایه به ترتیب مربوط به تعدادی فرد و زوج، و فرد و فرد حلقه تنیده شده با حفره مربوط می‌شود.
سیستم در هر کدام از این ترازهای پایه ثابت باقی می‌ماند، حتی زمانی که الگوی حلقه به صورت موضعی تغییر می‌کند. مثلا اگر مایع اسپین، تعدادی زوج از حلقه‌های تنیده شده به دور حفره‌ی چنبره داشته باشد، مممکن است دو عدد از این حلقه‌ها، همدیگر را قطع نموده و باهم ترکیب شوند، در اینصورت تبدیل به حلقه‌ای می‌شوند که دیگر اصلا دور حفره تنیده نشده است. تراز پایه‌ی سیستم‌ها، یک ویژگی ناوردای توپولوژیکی است که در مقابل تغییرات موضعی، مقاومت می‌کند.
کامپیوترهای کوانتومی آینده می‌توانند از مزایای این خصوصیت ناوردا بهره‌مند شوند. زالتل، کسی که ویژگی‌های توپولوژیکی مایعات اسپینی و فازهای کوانتومی دیگر را مطالعه کرده می‌گوید:
داشتن چهار تراز پایه توپولوژیکی که با تغییرات موضعی یا خطاهای محیطی تاثیر نپذیرد (یا همان ناوردایی توپولوژیکی) روشی برای نگه‌داری اطلاعات کوانتومی بدست می‌دهد، به این علت که بیت شما می‌تواند چیزی باشد که تراز پایه ما در آن قرار دارد. در واقع، سیستم‌هایی مشابه مایعات کوانتومی نیازی ندارند که دور یک چنبره تنیده شوند تا ترازهای محافظت شده‌ی توپولوژیکی داشته باشند.
زمین بازی مورد علاقه‌ی محققان، کد توریک (Toric code) است. کد توریک فازی است که بصورت نظری توسط نظریه‌پرداز ماده چگال، الکسی کیتا-ایو (Alexi Kitaev) از MIT در سال ۱۹۹۷ بنا نهاده شده و در طول دهه‌ی گذشته نیز در آزمایش‌هایی نشان داده شده است. کد توریک می‌تواند بر روی یک صفحه پیاده شود و همچنان ترازهای پایه‌ی چندگانه‌ی یک چنبره را داشته باشد. (حلقه‌های اسپین اساساً می‌توانند به سمت کناره‌های سیستم حرکت کنند و وارد سمت دیگر صفحه شوند، با این امکان که می‌توانند دور سیستم، مانند دور یک چنبره، تنیده شوند.) زالتل می‌گوید:
ما می‌دانیم چگونه بین ویژگی‌های تراز پایه بر روی یک چنبره، جابه‌جا شویم و در این جابجایی رفتار ذرات چگونه خواهد بود.
مایعات اسپین همچنین می‌توانند وارد فازهایی شوند که به جای تشکیل حلقه‌های بسته، شبکه‌های شاخه‌دار از ریسمان‌ها بوجود آید. این فاز مایع ریسمان-شبکه است که بنابر ادعای ون، می‌تواند مدل استاندارد فیزیک ذره را از یک اقیانوس سه بعدی کیوبیت بوجود آورد. ادامه دارد…
منبع: quantamagazine
