کد Haah و دسته‌بندی فازهای ماده به کمک مفهوم جدید فاز توپولوژیکی (قسمت دوم)

طبقه‌بندی فازهای مواد، اهمیت ویژه‌ای دارد که روز به روز با افزایش تعداد فازهای ممکن، ضرورت بیشتری می‌یابد، اما این طبقه‌بندی چگونه و بر چه اساسی باید صورت پذیرد؟ در قسمت قبل، به روند پیدایش فازهای توپولوژیکی همراه با نمونه‌هایی از فازها پرداختیم. در قسمت دوم و پایانی، نمونه‌ای از طبقه‌بندی مواد را معرفی کرده و چالش‌های پیش روی فیزیک‌دانان را بطور خلاصه بیان می‌کنیم. یکی از موضوعات مهم، کد Haah است که در بدو تولد، همه را شوکه کرده بود. کد Haah در واقع یک الگوریتم کامپیوتری است که برخی از فازهای ماده را با ویژگی‌های مشخص جستجو می‌کند. کشف کد Haah بسیار امید بخش بوده و امروزه فعالیت بسیاری از محققان در این حوزه متمرکز شده است. با دیپ‌لوک باشید…

دنیای فازها

تحقیقاتی در سال‌های ۲۰۰۹ و ۲۰۱۰ توسط چندین گروه انجام شد که طبقه‌بندی فازهای شکاف دار (gapped phases) ماده را در یک بعد، کامل کردند، مانند فازهایی که در زنجیره‌های ذرات وجود دارد. یک فاز شکاف دار، فازی است با یک تراز پایه (پیکربندی با کمترین انرژی)، که به اندازه‌ی کافی از ترازهای انرژی بالاتر جدا یا پاکسازی شده‌ و سیستم در آن حالت، پایدار است. تنها، فازهای کوانتومی شکاف‌ دار، برانگیختگی‌های خوش تعریفی به شکل ذرات دارند. فازهای بدون شکاف، مشابه بخارهای در حال چرخش مواد یا سوپ‌های کوانتومی، در دورنمای فازها، هنوز یک منطقه‌ی ناشناخته هستند.

برای یک زنجیره‌ی یک بعدی از بوزون‌ها، تنها یک فاز شکافته شده‌ی توپولوژیکی وجود دارد. این فاز، برای اولین بار توسط نظریه پرداز دانشگاه پرینستون، دانکن هالدین (Duncan Haldane) که همراه با دیوید تولس (David Thouless) و مایکل کاسترلیتز (J.Micheal Kosterlitz)، به خاطر دهه‌ها کار علمی و تحقیقاتی بر روی فازهای توپولوژیکی برنده جایز نوبل فیزیک سال ۲۰۱۶ شد، کشف گردید. در این فاز، زنجیره‌ی اسپین منجر به وجود آمدن ذراتی با اسپین نیمه صحیح در دو انتهای زنجیر می‌شود. دو فاز توپولوژیکی شکاف‌ دار، برای زنجیرهایی از فرمیون‌ها وجود دارد و این یعنی تراز آن‌ها با تغییر مکانشان، منفی می‌شود. مرتبه‌ی توپولوژیکی این زنجیرهای یک بعدی، از درهم‌تنیدگی کوانتومی بلندبُرد حاصل نمی‌شود، بلکه از تقارن‌های محلی که بین ذرات مجاور وجود دارد، نتیجه می‌شود. مفهومی که تحت عنوان «فازهای توپولوژیکی محافظت شده از نظر تقارنی» (symmetry-protected topological phases) مطرح می‌شود، متناظر با «زنجیره‌های گروه کوهمولوژی» (cocycles of the cohomology group) هستند که خود آن‌ها نیز مفاهیم ریاضی هستند که به کمیت‌های ناوردا مانند تعداد حفره‌های یک منیفلد مربوط می‌­شوند.

جدول تناوبی فازها

محققان گام‌های مهمی در جهت طبقه‌بندی فازهای کوانتومی مواد با توجه به تقارن و توپولوژی الگوهای درهم‌تنیدگی کوانتومی آن‌ها برداشته‌اند. مثال‌هایی از فازهای کوانتومی شکاف‌دار شناخته شده (فازهایی با کم‌انرژی‌ و پایدارترین حالت)، در جدول لیست شده‌اند. تصور می‌شود که این نوع فازها، برای مواد در یک و دو بعد، کامل باشد. فازهای کوانتومی که در سه بعد به وجود می‌آیند، به همراه فازهای بدون شکاف، هنوز یک قلمروی ناشناخته باقی مانده‌اند.

فازهای دو بعدی، فراوان‌تر و جالب‌تر هستند. آن‌ها می‌توانند چیزی را که متخصصان این حوزه، مرتبه‌ی توپولوژیکی صحیح در نظر می‌گیرند، داشته باشند: نوعی که مانند تغییرات الگوهای حلقه در یک مایع اسپین، همراه با الگوهای بلندبُرد درهم‌تنیدگی کوانتومی است. در چند سال گذشته محققان نشان داده‌اند که این الگوهای درهم‌تنیدگی کوانتومی، به ساختارهای توپولوژیکی بنام دسته‌بندی‌های ماتریسی (tensor categories) مربوط می‌شوند. این دسته‌بندی‌های ماتریسی، روش‌های متفاوتی را که اشیا، بطور بالقوه می‌توانند حول شی دیگر با‌ یکدیگر‌ آمیخته و تابیده شوند، می‌شمارند. دیوید پیرز گارسیا (David perez-Garcia) از دانشگاه مادرید می‌گوید:

دسته‌بندی‌های ماتریسی، به شما امکان می‌دهند ذراتی که در یک فرایند پایدار، آمیخته و تابیده می‌شوند را توصیف کنید.

دانشمندانی مشابه پیرز گارسیا تلاش می‌کنند بصورت ریاضی اثبات کنند که انواع‌ شناخته شده از فازهای توپولوژیکی شکاف‌دار دو بعدی، کامل هستند. او کمک کرد تا پرونده‌ی فازهای یک بعدی در سال ۲۰۱۰ بسته شود: فرض مفید گارسیا که بنابر آن، این فازها همیشه با نظریه‌های میدان کوانتومی، به خوبی تقریب زده می‌شوند، کمک قابل توجهی است. او معتقد است این دسته‌بندی‌های ماتریسی، تمام فازهای دو بعدی را پوشش می‌دهند، اما هنوز اثبات ریاضی برای این فرضیه وجود ندارد. چیزهای عجیب و غریب، به این علت که فیزیک جدیدی دارند، همیشه جالب و مفیدند.

فازهای کوانتومی بدون شکاف، حوزه‌ی دیگری برای اکتشافات جدید هستند. این حوزه‌های مه‌آلود و مبهم، در مقابل اکثر روش‌های نظری، مقاومت می‌کنند. سنتیل تودادری (Senthil Todadri)، نظریه پرداز ماده چگال از دانشگاه MIT می‌گوید:

زبان ذرات، راه‌گشا نیست و ما در حال رویارویی با ابرچالش‌هایی در زمینه‌ی درک این قبیل از مواد و فازها هستیم. برای مثال، در مسیر درک ابررسانایی دمای بالا، فازهای بدون شکاف، مهم‌ترین مانع را ایجاد می‌کنند. این قبیل فازها، دانشمندان گرانش کوانتومی را در مسیر «آن از کیوبیت» (It from qubit) از پیشروی باز می‌دارد.

برایان سوئینگل (Brian Swingle)، فیزیکدان نظری در دانشگاه مریلند می‌گوید:

در نظریه‌ی «آن از کیوبیت» ما بیشتر وقت‌مان را صرف مطالعه‌ی حالت‌های بدون شکاف می‌کنیم؛ زیرا این حوزه به گرانش، ختم می‌شود.

در فضای سه بعدی، اکتشاف بسیار شگفت‌انگیزتری در حال وقوع است. اکنون واضح است هنگامی که اسپین‌ها و ذرات، از زنجیره و صفحه‌ی خود جدا شده و فضای حقیقی سه بعدی را اشغال می‌کنند، الگوهای عجیب درهم‌تنیدگی کوانتومی می‌تواند ظاهر شود که بنابر اعتقاد پیرز گارسیا، این برانگیختگی‌ها، غیر قابل کنترل هستند.

کد Haah

رام‌نشدنی‌ترین فازهای سه بعدی، هفت سال پیش مشاهده شدند. این فازها را یک دانشجوی ارشد بااستعداد در انستیتوی کالیفرنیا به نام جاونگ وان هاه (Jeongwan Haah)، هنگامی که کد dream را با کامپیوتر جستجو می‌کرد، کشف کرد. کد dream، یک حالت پایه‌ی کوانتومی بسیار قوی است که می‌تواند برای حفظ امنیت حافظه کوانتومی، حتی در دمای اتاق مورد استفاده قرار بگیرد.

برای این کار، هاه مجبور بود به مواد سه بعدی روی بیاورد. در فازهای توپولوژیکی دو بعدی، مانند کد توریک (toric code)، یک منبع مهم خطا، عملگرهای ریسمان‌گونه (Stringlike operators) هستند. این عملگرها، اغتشاشاتی هستند که به سیستم وارد شده و باعث می‌شوند ریسمان‌های جدیدی از اسپین‌ها بطور تصادفی تشکیل شود. این ریسمان‌ها گاهی اوقات حلقه‌های جدیدی دور حفره‌ی چنبره می‌پیچند. این عمل باعث می‌شود تعداد چرخش‌ها از تعداد زوج به فرد و یا برعکس تغییر کند و کد توریک، به یکی از سه حالت دیگر پایه‌ی کوانتومی تبدیل شود. متخصصان معتقدند؛ چون این ریسمان‌ها به شکل غیر قابل کنترل رشد کرده و به دور اشیا می‌پیچند، در دو بعد نمی‌توانیم حافظه‌های کوانتومی مطلوب داشته باشیم.

هاه یک الگوریتم برای جستجوی آن دسته از فازهای سه بعدی‌ نوشت که از انواع معمول عملگرهای ریسمان‌گونه، اجتناب می‌کنند. خروجی جستجوی کامپیوتر، هفده جواب بود که او مجبور به بررسی دستی آنها شد. مشخص شد چهار عدد از فازها، از عملگرهای ریسمان‌گونه مصون هستند و یکی از آن‌ها با بیشترین تقارن، فازی بود که اکنون به عنوان کد Haah شناخته می‌شود.

کد Haah به همان اندازه که بطور بالقوه برای حافظه‌های کوانتومی مفید است، بسیار عجیب به نظر می‌رسد. شی چِن (Xie Chen)، یکی از نظریه‌پردازان ماده چگال انیستیتوی کالیفرنیا، اخباری را که در بازه‌ی یکی دو ماهه بعد از اکتشاف گیج‌کننده هاه بعنوان یک دانشجوی ارشد، می‌شنید را یادآوری می‌کند. او می‌گوید:

همه کاملا شوکه شده بودیم. ما حتی نمی‌دانستیم که راجع به آن چه چیزی از دستمان برمی‌آید، اما حالا تبدیل به موضوع پژوهشی شده که کار روی آن، سال‌ها طول می‌کشد.

تودادری می‌گوید:

کد Haah روی کاغذ، نسبتا ساده بوده و جواب یک معادله‌ی انرژی با دو جمله است که توصیف‌کننده‌ی اسپین‌هایی می‌باشد که با هشت همسایه خود در شبکه مکعبی تعامل می‌کنند. اما فازی که بدست می‌آید، یک اصل یا شاید هم یک خیال است.

این کد، ماهیت ذره‌ گونه‌ای به نام فرکتون را نمایش می‌دهد که برخلاف الگوهای حلقه‌واری که تحت عنوان مایع اسپین کوانتوم می‌شناسیم، مایع نیستند و در مکان خودشان قفل شده‌اند. فرکتون‌ها فقط می‌توانند بین دو مکان، داخل شبکه، جست و خیز داشته باشند، البته به شرطی که آن مکان‌ها در یک الگوی فراکتال عمل کنند. این یعنی، شما مجبورید به هر گوشه‌ی سیستم، انرژی تزریق کنید. منظور از سیستم، چهار فرکتون متصل به یک شبکه‌ی تتراهدرال است که باعث تغییر مکان فرکتون‌ها می‌شود، اما وقتی روی این گوشه‌ها بزرگنمایی کنید، متوجه می‌شوید آن چیزی که شما به عنوان یک گوشه‌ی نقطه‌مانند در نظر گرفته بودید، در واقع چهار راس از یک تتراهدرال کوچکتر بوده و شما باید به چهار راس این شبکه نیز انرژی بدهید. در یک مقیاس بهتر شما می‌توانید یک تتراهدرال کوچکتر را نیز مشاهده کنید و به این ترتیب تا بهترین مقیاس از شبکه، پیش بروید. معنی این رفتار فرکتونی اینست که کد Haah هیچوقت شبکه‌ی بنیادینی که از آن بوجود آمده را فراموش نمی‌کند و نمی‌توان این رفتار را با استفاده از یک بیان نرم‌تر و هموارتر شبکه، مانند کاری که در یک نظریه‌ی میدان کوانتومی استفاده می‌شود، تقریب زد. علاوه‌ براین‌، تعداد حالت‌های پایه در کد Haah ، با اندازه‌ی شبکه‌ی بنیادین، افزایش می‌یابد که این قطعا یک ویژگی توپولوژیکی نیست (اگر یک چنبره را بکشید، همچنان یک چنبره باقی خواهد ماند). تراز کوانتومی کد Haah ، فوق‌العاده امن بوده و علت، این است که یک عملگر فرکتونی که به تمام نشانه‌ها بطور کامل دسترسی دارد، با احتمال کمی بطور تصادفی رخ می‌دهد.

فازی که هاه کشف کرد اکنون انتظارات نظری زیادی را بوجود آورده است. هاه در کنار کارهای خود، در مسائل دیگری نیز همکاری داشته؛ برای مثال در سال ۲۰۱۵، به همراه دو همکارش در دانشگاه MIT نمونه‌های متعددی از نوعی فازها که اکنون مدل‌های فرکتون شناخته می‌شوند، کشف کرد. این فازها پسرعموی ساده‌تر کد Haah هستند. چِن و همکارانش، توپولوژی این سیستم‌های فرکتونی را مطالعه می‌کنند. آن‌ها به ذرات اجازه می‌دهند در طول خطوط یا صفحات داخل یک حجم سه بعدی حرکت کنند که می‌تواند منجر به درک مفهومی یا تحقق ساده‌تر آزمایشگاهی این فازها شود. چِن راجع به کد Haah چنین می‌گوید:

کد Haah دری به سوی موضوعات بسیار شگفت‌انگیز باز می‌کند. کد Haah نشان می‌دهد ما چقدر کم درباره‌ی فضاهای سه بعدی و بالاتر می‌دانیم.

هنوز هیچ کس نمی‌داند که کد Haah و پسرعموهایش، به کجا تعلق دارند، یا فضای احتمالات، ممکن است چقدر بزرگ باشد. محققان در طبقه‌بندی ساده‌ترین فازهای سه بعدی شکاف‌دار، پیشرفت داشته‌اند، اما در سه بعد، قبل از اینکه یک برنامه کامپیوتری بتواند شروع به طبقه‌بندی کامل فازها کند، به کشف‌های بیشتری نیاز داریم. سیاری از محققان بر این باورند که شاید لازم باشد مفاهیم و یا حتی چارچوب طبقه‌بندی کاملا جدیدی، در نظر گرفته شود تا بتواند ماهیت فرکتونی کد Haah را دربرگیرذ و در نهایت از یک طرح کامل احتمالات برای مواد کوانتومی سه بعدی رونمایی کند. وِن می‌گوید:

ما به نظریه و تفکر جدیدی نیاز داریم. شاید به تصویر جدیدی از الگوهای غیرمایع درهم‌تنیدگی‌های بلند‌برد نیاز داشته باشیم. ایده‌های مبهمی داریم و یک چارچوب ریاضی سیستماتیک نداریم تا آن‌ها را اجرا کند، اما مطمئنیم که این حوزه، بسیار هیجان‌انگیز است.

منبع: quantamagazine