کشف اتفاقی و دوباره ی عدد پی :پیوند شگفت انگیز فیزیک کوانتوم و ریاضی محض!

3

همه ی ما عدد پی را متعلق به دنیای ریاضی محض می دانیم. اما دانشمندان به صورت کاملاً اتفاقی دریافتند که این عدد، پیوند جالبی بین فیزیک کوانتوم و ریاضی برقرار می کند. با دیپ لوک همراه باشید…در سال ۱۶۵۵، یک ریاضیدان انگلیسی به نام جان والیس، کتابی منتشر کرد که در آن یک فرمول بندی جدید برای عدد پی بدست آورده بود. وی عدد پی را به صورت حاصلضرب یک سری از نسبت ها استخراج کرده بود. حالا محققان دانشگاه روچستر به صورت اتفاقی، همان فرمول را در محاسبات مکانیک کوانتومی انرژی ترازهای اتم هیدروژن بدست آوردند! یافته های آنها در ژورنال Journal of Mathematical Physics منتشر شد.

دست نوشته های والیس برای فرمول بندی عدد پی

کارل هاگن، فیزیکدان دانشگاه روچستر و شخص اول این پژوهش می گوید: “ما به هیچ وجه به دنبال یافتن فرمول والیس برای عدد پی نبودیم.این فرمول، خودش ظاهر شد! این کشف، واقعاً اتفاقی بود و ما را شگفت زده کرد. وقتی فرمول والیس را برای معادلات اتم هیدروژن بدست آوردیم، من از خوشحالی، بالا و پایین پریدم. جالب ترین نکته در مورد این کشف، ارتباطی است که بین فیزیک و ریاضی برقرار می کند. واقعاً شگفت انگیز است که یک فرمول ریاضی محض از قرن هفدهم، سیستم فیزیکی ۳۰۰ سال بعدش را توصیف کند!”

فرمول بندی کوانتومی عدد پی 2
فرمول بندی والیس برای توصیف عدد پی

اجازه دهید ببینیم چطور سروکله ی این عدد در کوانتوم پیدا شد. در مکانیک کوانتومی، تمام اطلاعات لازم در مورد یک سیستم کوانتومی، با یک تابع موج ψ (بخوانید سای) توصیف می شود. ما برای بیرون کشیدن این اطلاعات از درون سای، نیاز به حل معادله ای به نام “معادله ی شرودینگر” داریم. اما یک مشکل وجود دارد: معادله ی شرودینگر را فقط می توان برای یک سیستم تک الکترونی، یا به عبارتی سیستم های هیدروژن مانند حل کرد. بنابراین باید حل این معادله برای سیستم های با بیش از یک الکترون، به ناچار باید به سراغ روش های تقریبی برویم. یکی از این روش ها، روش تغییر (variation) نام دارد. با استفاده از روش تغییر می توان حالت های انرژی سیستم های کوانتومی، مانند ملکول ها را به صورت تقریبی محاسبه کرد. (معادله ی شرودینگر و عبارات ریاضی وابسته به آن را رد مقالات تخصصی کلاس درس کوانتومی، به تفصیل توضیح خواهیم داد).

معادله شرودینگر - عدد پی
معادله ی وابسته به زمان شرودینگر

از آنجایی که انرژی و حالت های اتم هیدروژن به صورت دقیق قابل حل است، دیگر نیازی به استفاده از روش تغییر در مورد آن نیست. اما استاد هاگن در حال درس دادن روش تغییر به دانشجویانش بود که تصمیم گرفت آن را بر روی اتم هیدروژن اعمال کند. اما چرا استاد هاگن اینکار را کرد؟ از آنجایی که حل دقیق انرژی اتم هیدروژن وجود دارد، او قصد داشت تا دانشجویانش با محاسبه ی انرژی اتم هیدروژن به روش تغییر و سپس مقایسه ی آن با انرژی دقیق موجود، خطای روش تغییر را بدست آورند.

زمانیکه هاگن، خودش شروع به حل مسئله کرد، فوراً یک روند را مشاهده کرد. خطای روش تغییر برای حالت پایه ی اتم هیدروژن حدود ۱۵ درصد و برای اولین حالت برانگیخته ۱۰ درصد بود و به همین شکل با رفتن به ترازهای بالاتر، کوچکتر می شد. این یک نتیجه ی عجیب بود! چرا که روش تغییر همیشه برای پایین ترین ترازها، بهترین تقریب ها را بدست میداد. به همین خاطر، هاگن به سراغ یک ریاضیدان به نام تامار فریدمن رفت.

فرمول کوانتومی عدد پی
محاسبات هاگن و فریدمن که منجر به بسط توابع ریاضی خاصی به نام توابع گاما شد

فریدمن مسئله را به طور دقیق بررسی کرد. آنها دریافتند که حد این حل تغییری، به مدل هیدروژن نزدیک می شود (مدل هیدروژن در قرن بیستم توسط نیلز بور ارائه گردیده و در آن، مدارهای الکترونی به صورت کاملاً مدور یا دایره ای فرض می شوند). این نتیجه از اصل تطابق بور انتظار می رود. چرا که این اصل می گوید هر چه شعاع مدارهای الکترونی بزرگتر شود، رفتار سیستم های کوانتومی به رفتار سیستم های کلاسیکی نزدیکتر می شود و در یک شعاع خاص، یک سیستم کوانتومی به طور کامل به یک سیستم کلاسیکی تبدیل می شود (به بیان عمومی تر، اصل تطابق بور به معنای تطابق مکانیک کوانتوم بر مکانیک کلاسیک در ترازهای بسیار بالای یک سیستم است). در مدارهای انرژی پایین تر، مسیر الکترون، مبهم و ابرگونه است،اما در ترازهای بالاتر (برانگیخته)، مدارها شارپ تر و واضح تر می شوند، یعنی درست مثل دنیای ماکروسکوپی و کلاسیکی، عدم قطعیت در شعاع کاهش می یابد. بنابراین هاگن و فریدمن با استفاده از فرمول حد حل تغییری با بالارفتن ترازها، توانستند عدد پی را از دل دنیای کوانتوم بیرون بکشند!

دانلود فایل PDF این مقاله

زاده ی اردیبهشت ۶۹ و دانشجوی دکترای شیمی کوانتوم محاسباتی در دانشگاه شهید بهشتی است.او علاقمند به دنیای کوانتوم، تکنولوژی، فوتبال و موسیقی (رپ/راک) بوده و علاوه بر سردبیری دیپ لوک، به طراحی وب و نویسندگی در گجت نیوز، بیگ تم و ماهنامه GB جی اس ام مشغول است.

گفتگو۳ دیدگاه

  1. خیلی خیلی جالب بود.
    این کشف،کشف کوچکی نیست.
    در واقع نوعی ردپا از نظریه همه چیز است که در این محاسبات دیده شده.
    این کشف برای من این معنی را میده که در نهایت کل قوانین فیزیک در قانونی مشترک با هم معادل و هم ارز هستند.

    • ناهید سادات ریاحی

      بله درسته، این نتیجه، بسیار جالب بود، به زودی جزییات محاسباتی این مقاله که خودم درآوردم، روی سایت میذارم تا دوستان استفاده کنن

ارسال نظر


*