ریاضیات مقیاس به زبان فراکتال ها: بزرگ، کوچک و هر آنچه بین آنهاست

بَرخال، فرکتال یا فراکتال (Fractal) ساختار هندسی عجیبی است که با بزرگ کردن هر بخشش به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست می‌آید؛ ساختاری که هر بخشش با کلش همانند است. ساختار جادویی فراکتال ها ذهن آدمی را به شدت درگیر خود می‌کند و شاید به همین دلیل است که در معماری و هندسه، ردپای آنها زیاد به چشم می‌خورد. اما همانطور که در مقاله‌ی زیر خواهیم دید فراکتال ها با بسیاری از بخش‌های زندگی روزمره ما درهم تنیده شده‌اند، از تنفس تا جامعه و قانون قدرت. نوشتار زیر ترجمه‌ی مقاله‌ای با همین عنوان و نوشته میچل نیوبری (Mitchell Newberry) استاد فیزیک دانشگاه میشیگان است که اخیرا از وب‌سایت معتبر کانورسیشن منتشر گردیده است. با دیپ‌ ­لوک همراه باشید…

نفس بکشید. با انبساط شش‌هایتان، هوا، ۵۰۰ میلیون آلوئول (کیسه‌های هوایی) را پر می‌کند که هر کدام از آن‌ها، کسری از یک میلیمترند. با عمل بازدم، میلیون‌ها بسته‌ هوایی کوچک، بدون زحمت، از طریق گذرگاه‌های هوایی، به صورت یک نفس بسیار بزرگ‌تر با یکدیگر ادغام می‌شوند. این گذرگاه‌های هوایی فراکتال هستند.

فراکتال‌ها ابزارهایی ریاضی هستند که برای توصیف اشیا و جزئیات آن‌ها در هر مقیاسی به کار می‌روند. ریاضیدانان و فیزیک‌دانانی مانند من نیز، از فراکتال‌ها و مفاهیم مربوطه برای درک چگونگی روند تغییرات اشیا از کوچک به بزرگ استفاده می‌کنند. شما و من، زمانی که درباره‌ی نحوه‌ی تاثیر انتخاب‌هایمان بر جهان فکر می‌کنیم، بین مقیاس‌های بسیار متفاوتی منتقل می‌شویم. آیا این همان تاثیر قهوه‌ی لاته بر تغییرات آب و هوایی است؟ آیا باید من در انتخابات شرکت کنم؟ این ابزارهای ریاضی، برای بدن نیز به کار می‌روند. همانطور که برای بلایای طبیعی، منظره و جامعه نیز به کار می‌روند.

فراکتال‌ ها در همه جا

در سال ۱۹۶۷، ریاضیدانی به نام بنویت ماندل‌ بروت (Benoit Mandelbrot) این سوال را مطرح کرد که: «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟» این یک سوال انحرافی است. پاسخ این سوال، به چگونگی اندازه‌گیری آن بستگی دارد. اگر شما خط ساحلی را از روی نقشه اندازه‌گیری کنید، یک جواب بدست می‌آورید. اما اگر بخواهید در طول ساحل بریتانیا به همراه یک متر چوبی قدم بزنید و آن را اندازه بگیرید، یک جواب کاملا متفاوت بدست خواهید آورد. هر کس که می‌خواهد طول یک مسیر پیاده‌روی را از روی نقشه تخمین بزند، مقیاس تبدیل تصویر را نیز می‌داند. این بدان دلیل است که شش‌ها، خط ساحلی بریتانیا و مسیر پیاده‌روی، همگی دارای یک خصوصیت فراکتالی هستند. طول آن‌ها، تعداد شاخه‌ها یا برخی کمیت‌های دیگر، به مقیاس یا دقتی که برای اندازه‌گیری استفاده کرده‌اید، بستگی دارد.

خط ساحلی، خودهمانند نیز است. یعنی از نسخه‌های کوچک‌تر مشابه خودش ساخته شده است. تمام فندق‌های قرمز، درختان، پوسته‌های حلزون، مناظر، سایه‌های کوه‌ها و شبکه‌ی رودخانه‌ها، همه و همه‌، مشابه نسخه‌های کوچک‌تر خود هستند و دقیقا به این دلیل است که وقتی شما به عکس هوایی یک منظره نگاه می‌کنید، تشخیص مقیاس نقشه که آیا ۵۰ کیلومتر یا ۵۰۰ متر است، سخت به نظر می‌رسد.

شش‌های شما نیز به این دلیل که تمام بدن، هر یک از شاخه‌ها را به خوبی و در نسبت دقیقی درجه‌بندی می‌کند و هر قسمت را کپی کوچک‌تری از قسمت قبلش می‌کند، خودهمانند است. این طراحی پیمانه‌ای، شش‌ها را در هر اندازه‌ای کارآمد می‌کند. یک کودک و یک بزرگسال را در نظر بگیرید، یا یک موش و یا حتی یک وال را. تنها تفاوت بین کوچک و بزرگ در این است که شاخه‌های گذرگاه‌های هوا، چند بار تکرار شده است. خودهمانندی و فراکتالی در هنر و معماری بروز پیدا می‌کند، در کمان طاق‌های آبشارهای رومی و مارپیچ‌های کلیسای گوتیک که تاج‌پوش یا سایبان جنگل را منعکس می‌کند. حتی خوشنویسان چینی، به فراکتالی ابرهای تابستان، ترک‌های دیوار و لکه‌های آبی در محل نشتی ساختمان‌ها نیز در سال ۷۲۲ توجه کرده‌اند.

مقیاس ناوردایی (استقلال از مقیاس، بی‌مقیاسی)

اشیای خودهمانند، مقیاس ناوردا (scale invariance) هستند. به عبارت دیگر، برخی ویژگی‌ها، مانند بازده شش‌ها به اندازه‌ی اشیا بستگی ندارند. به طور مختصر، مقیاس ناوردایی بیان می‌کند که با تغییر مقیاس، چه ویژگی‌هایی تغییر کرده و چه ویژگی‌هایی تغییر نمی‌کنند. لئوناردو داوینچی مشاهده کرد که با رشد و شاخه شاخه شدن درختان، مساحت سطح مقطع کلی درختان تغییر نمی‌کند. به بیان دیگر، از تنه تا سرشاخه‌های کوچک، تعداد و قطر شاخه‌ها با هر مرحله‌ی شاخه‌دهی تغییر می‌کند، اما ضخامت همه‌ی شاخه‌ها بصورت دسته‌ای، ثابت است.

مشاهده‌ی داوینچی، یک مقیاس ناوردایی را بیان می‌کند: برای هر شاخه با شعاع معین، چهار زیر شاخه با شعاع نصف آن وجود دارد. دوره‌ی تناوب یا فرکانس تکرار زمین‌لرزه نیز یک مقیاس ناوردایی مشابه دارد که در سال ۱۹۴۰ مشاهده شد. از جمله بزرگ‌ترین آن‌ها می‌توان به لیسبون ۱۷۵۵ و سان فرانسیسکو ۱۹۸۹ اشاره کرد، اما زلزله‌های بسیار کوچک‌تری هر ساله در کالیفرنیا اتفاق می‌افتد. قانون گوتنبرگ-ریشتر (Gutenberg-Richter) می‌گوید فرکانس تکرار زمین لرزه، به اندازه‌ی زمین لرزه بستگی دارد. پاسخ به طور شگفت‌انگیزی ساده است. یک زلزله با ابعاد ده برابر، معمولا با دوره‌ی تکرار یک دهم آن رخ می‌دهد.

جامعه و قانون قدرت

یک اقتصاددان قرن نوزدهمی، به نام ویلفردو پارتو (Vilfredo Federico Damaso Pareto) که به خاطر قاعده‌ی ۸۰/۲۰ در مبحث کسب و کار شهرت دارد، مشاهده کرد که تعداد خانواده‌هایی با ثروت معین، با میزان دارایی آن‌ها رابطه‌ی عکس دارد و به یک نما یا توان رسید. پارتو، این نما را برای سال‌ها و کشورهای متفاوت اندازه‌گیری کرد و دریافت که این توان حدود ۱.۵ است. توزیع ثروت پارتو، ظاهرا به خاطر نما یا توان، به عنوان قانون قدرت شناخته می‌شود.

هر چیز خودهمانند، یک قانون قدرت متناظر دارد. در مقاله‌ای در ماه آوریل، من و همکارم قانون قدرت متناظری را برای شش‌ها، رگ‌های خونی و درختان بیان کردیم. البته این قانون با قانون قدرت پارتو، تنها با احتساب نسبت‌های معین بین شاخه‌ها، متمایز می‌شود. میزان خوشبختی یا ثروت، با اندازه‌ی شاخه‌های درختان یا رگ‌های خونی یکسان و متناظر است: تعداد کمی تنه‌ی اصلی درخت یا شاخه‌های بزرگ، و شاخه‌های کوچکی که بصورت نمایی بیشتر می‌شود.

تصور پارتو از قاعده‌ی توزیع ثروت، یک قانون طبیعت بود، اما مدل‌های متفاوت بسیاری از سازمان‌های اجتماعی، منجر به توزیع پارتو می‌شود. در حالیکه، جوامع، در نابرابری ثروت به طور متفاوت عمل می‌کنند. توان بزرگ‌تر پارتو، به معنی جامعه‌ی مساوات‌طلب‌تری است. از درک چگونگی تشکیل انسان از سلول‌های کوچک گرفته تا تاثیر ما بر سیاره‌ زمین، خودهمانندی، فراکتالی و مقیاس ناوردایی معمولا به ترجمه‌‌ از یک سطح ساماندهی به سطح دیگر آن کمک می‌کنند.