منشا معادلات چیست؟ استدلال جز به کل یا کل به جز؟

آیا منشا معادلات یعنی همان موجودات ریاضی که جهان اطرافمان را توصیف می‌کنند را می‌دانید؟ مثلا تاکنون فکر کرده‌اید قانون مجذور معکوس نیوتون از کجا آمده؟ روش های استدلال ما تا چه حد پاسخگوی جوابی علمی به مسائل هستند؟ آیا این روش‌ها صرفا نوعی تجربه لذت‌بخش ریاضیاتی‌اند؟ آیا نظام اموزش جهانی اجازه رشد ذهنی پرسش‌گر را از ما نگرفته است؟ برای بحث در این مورد با دیپ لوک همراه باشید…

نخست پیشینیان دریافتند که سیارات در آسمان حرکت می‌کنند، سپس به این نتیجه رسیدند که سیارات و از جمله زمین به گرد خورشید در چرخش‌اند. بعد‌ها ،مردمان این یافته را از یاد‌ برده‌ بودند و کوپرنیک دوباره آن‌ را کشف نمود. پرسش بعدی این بود که سیارات و زمین دقیقا چگونه و با چه نوع حرکتی به گرد خورشید می‌چرخند؟ آیا در دایره ای حرکت می‌کنند که خورشید مرکز آن است یا مدار چرخش آن‌ها به شکل منحنی دیگری است؟

روزگار عصر کوپرنیک، عصر مناقشات شدید درباره حرکت سیارات بود. اختلاف بر سر این بود که آیا سیارات و از جمله زمین به دور چیزی می‌چرخند یا اینکه زمین مرکز گیتی است؟ تا اینکه تیکو براهه منجم دانمارکی، راهی برای پاسخ دادن به این پرسش‌ها یافت. از نظر او شاید بهترین شیوه برای پیدا کردن جواب پرسش های بالا، رصد و ثبت نتایج آن با دقت هر‌چه تمام‌تر بود تا معلوم شود سیارات دقیقا از کدام گوشه آسمان پیدا می‌شوند. آنگاه می‌توان نظریه‌ها و فرضیه‌های گوناگون را در یکدیگر مشخص ساخت. این شیوه برخورد، کلید قفل دانش امروزی و آغاز شناخت طبیعت بود. تیکو براهه معتقد بود باید اشیا و پدیده‌ها را با دقت نگریست و آن‌ها را ثبت و ضبط کرد تا از میان آگاهی‌هایی که با این شیوه کسب می‌شوند سرنخی بدست آید و منجر به تعبیر و تفسیر نظری شود. او در اطراف و اکناف جزیره محل زندگی خود، انواع اسباب افزار رصد را نصب کرد و روزها و شب‌های متوالی به رصد و ثبت مواضع سیارات پرداخت. بعد از تیکو براهه ،کپلر با داده های او و با روش آزمون و خطا دریافت مدار چرخش سیارات به دور خورشید بیضی‌شکل است و خورشید همیشه در یکی از کانون‌های آن قرار دارد.

کشف علمی فقط و فقط با زحمت و صبر و پشتکار صورت می‌گیرد و مدیون نگاهی ساده و عمیق به جهان اطرافمان است. ساده‌ترین پدیده‌ها می‌توانند دریچه‌ای برای ورود به انبوهی از پرسش‌های راهگشا برای علم باز کنند.

درباره قانون گرانش می‌گویند که فراگیرترین کلیت و گسترده‌ترین تعمیمی است که ذهن آدمی تا‌به‌حال توانسته درک و هضم کند. توجهمان بیش از این که به ذکاوت آدمی باشد که به آن پی برده، باید معطوف هوشمندی خیره‌کننده طبیعتی باشد که به آن گردن نهاده‌ است. قانون گرانش این است که دو جسم به نسبت معکوس مجذور فاصله خود بر یکدیگر اعمال نیرو می‌کنند و مقدار این نیرو نسبت مستقیم دارد با جرم آن دو جسم. این قانون عظیم به زبان ریاضی چنین نوشته می‌شود:

F=Gm_۱m_۲ / r^۲

عددی ثابت ضرب در حاصل‌ضرب دو جرم، تقسیم‌‌ بر مجذور فاصله.

حال اگر این نکته را یادآور شویم که واکنش هرجسمی را که بر آن نیرویی وارد می‌شود «شتاب» می‌نامند و به نسبت معکوس جرم آن جسم در هر ثانیه تغییر می‌کند یا به عبارت دیگر هر چه جرم جسم کمتر باشد سرعت آن بیش‌تر تغییر می‌کند، تمام آنچه لازم است را درباره گرانش گفته‌ایم.

آنچه اسباب نهایت تعجب و شگفتی می‌شود این‌است که می‌بینیم مثلا میان قوانین جاذبه و قوانین الکتریسیته وجوه مشترک بارزی وجود دارد. هم در جاذبه و هم الکتریسیته، اثر نیرو متناسب است با معکوس مجذور فاصله. اما آنچه فوق‌العاده چشمگیر است، تفاوت هراس‌انگیز میان نیروی جاذبه و نیروی الکتریسیته است. کسانی‌ که کوشش می‌کنند نشان دهند الکتریسیته و جاذبه، جوانب متفاوت امری واحدند، چون پی می‌برند که الکتریسیته با چه مقیاس وحشتناکی از جاذبه نیرومندتر است، دیگر نمی‌توانند بپذیرند که این دو، منشا واحدی داشته باشند.

دو الکترون که از ذرات بنیادی به‌شمار می‌روند، یکدیگر را به نسبت عکس مجذور فاصله ناشی از الکتریسیته دفع و به نسبت عکس مجذور فاصله ناشی از جاذبه جذب می‌کنند. سوال اینجاست که نسبت نیروی جاذبه از یک‌سو و نیروی الکتریسیته از سوی دیگر چیست؟ نسبت جاذبه گرانشی به دافعه الکتریکی، عددی است که ۴۲ صفر جلوی خود دارد. این خود معمایی ژرف است. اگر قرار باشد فرضیه واحدی را عرضه کنیم که بتواند هر‌دو را توجیه کند، چگونه ممکن است چنین عدم تناسب فاحشی میان آن‌ها وجود داشته باشد؟

قانون گرانش دقیق نیست و اینشتین ناچار شد آن‌ را اصلاح کند و می‌دانیم هنوز هم صورت نهایی نیافته است و هنوز با نظریه کوانتومی سازگار نشده است. همیشه بخشی از افق در مه ابهام پوشیده است. همیشه باید جایی را دست‌کاری کرد. شاید فطرت طبیعت چنین باشد یا شاید هم اینگونه نباشد و ناشی از جهالت آدمی باشد، اما با عظمت‌ترین جنبه فرضیه گرانش، سادگی و زیبایی آن است. از سوی دیگر بیان بلیغ و فصیح اصول قانون گرانش آسان است، اما منظور این‌ نیست که طرز عمل آن هم ساده است. محاسبه حرکات انواع سیارات و انحرافاتی که بر اثر نیری گرانش و در حرکت یکدیگر ایجاد می‌کنند، دشوار و پیچیده است. با این حال، نظام زیربنایی تمام هستی، ساده است.

قانون گرانش تا چنان فاصله دور دستی کاربرد دارد که نیوتون، که دغدغه‌اش منظومه شمسی بود، توانست نتایج آزمایش کاوندیش را پیش‌بینی کند. حال آنکه نمونه کوچکی که کاوندیش از منظومه شمسی ساخته بود، یعنی دوگویی که جذب می‌شدند را باید ده میلیون بار، ده میلیون دفعه بزرگ کرد تا به اندازه منظومه شمسی شود و اگر چنین کنیم خواهیم دید که کهکشان ها نیز یکدیگر را دقیقا بر مبنای همین قانون جذب می‌کنند.

طبیعت برای یافتن نقش‌های خود، طولانی‌ترین رشته ها را به کار‌می‌گیرد تا کوچک‌ترین گوشه‌های بافته طبیعت نیز نمایان‌گر تمامی نقش قالی بزرگ هستی باشد.

در اعمال قوانین فیزیک در مقیاس های بسیار کوچک، درمی‌یابیم که رفتار ماده در مقیاس کوچک با رفتار آن در مقیاس بزرگ، تفاوت‌های فاحشی دارد. حال این پرسش پیش می‌آید که تاثیر نیروی گرانش یا جاذبه آنگاه که در مقیاس کوچک اعمال می‌شود چگونه است؟

جاذبه بر روی فواصل ماکروسکوپیک به خوبی شناخته شده‌است. قانون مربع معکوس که قرن‌ها پیش توسط نیوتون پیشنهاد شد، به توصیف دقیق نیرو در قلمروی غیر نسبیتی می‌پردازد. این قانون آزمایش‌های تعادلی در مقیاس آزمایشگاهی تا حرکت ستاره‌ها و کهکشان‌ها  را تفسیر می‌کند و به خصوص اینکه در مقیاس فاصله‌ی زمین تا ماه آزمایش شده‌، اما فاصله‌های کوتاه، بحث دیگری است. همانطور که بیان کردیم در آزمایش‌های میکروسکوپی، نیروهای الکترومغناطیس به شدت غالب هستند و نیروی جاذبه در مقیاس‌های کوچک هرگز به طور مستقیم اندازه‌گیری نشده است. برای تمام آزمایش‌هایی که با وجود محدودیت‌های آزمایشگاهی در مقیاس نانومتر انجام شده، قانون گرانش نیوتون می‌تواند تا حد بالایی اشتباه باشد. برای مقیاس‌های کوچکتر از نانومتر، نتایج به شدت بدتر می‌شود. اگر در مورد آن فکر کنید، منطقی به نظر می‌رسد که اندازه‌گیری جاذبه بین اجسام میکروسکوپی، بسیار دشوار است.

به نظر می‌رسد که در کلاس‌های فیزیک مقدماتی در دبیرستان و دانشگاه، همه چیز به صورت یک فرمول برای نیروی جاذبه، به عنوان یک حقیقت مسلم و بدون هیچ چیز جالبی برای گفتن در مورد اینکه از کجا آمده یا چه محدودیت‌هایی دارد، آموزش داده شده است.

جاذبه در مقیاس دسی متر، یک قرن بعد از نیوتن، توسط هنری کاوندیش به خوبی مورد آزمایش قرار گرفت. این آزمایش نخستین آزمایشی است که در آن نیروی گرانش بین اجسام در آزمایشگاه محاسبه شد و نیز نخستین آزمایشی است که در آن مقدار دقیقی برای ثابت گرانش و جرم زمین به دست آمد. کتب درسی درباره کار کاوندیش بحث و تبادل نظر می‌کنند، اما به عنوان یک ارزیابی از G، نه تایید رابطه مجذور معکوس ؛ این بخش هرگز مورد پرسش قرار نمی‌گیرد.

تمرکز روی فرمول و معادله در بسیاری از علوم مقدماتی و ریاضیات، گسترش‌ یافته است . مساحت یک دایره توسط A = πr^۲ داده می‌شود، همان طور که F = gm_۱m_۲ / r^۲ است. در چند گام به مسیر حل معمول خود ادامه دهید و به جواب‌ها چنگ بزنید و در مورد آن چه که هر کدام از اینها چه مفهومی دارد فکر نکنید! این رویکرد، جدا از اینکه یک تجربه کاملاً لذت‌بخش است، تفاوت‌های مهم بین تفکر علمی-ریاضیاتی و روش‌های مکمل آن که به ما کمک می کند جهان را درک کنیم، پنهان می‌کند.

در کلاس هندسه که برای اولین بار برای یادگیری برهان‌های ریاضی آماده می‌شدیم، معلم بسیار ناقص توضیح می‌داد که تفاوت بین استدلال استنتاجی (deductive) و استقرایی (inductive) چیست. او استدلال استقرایی را (برون یابی از الگوها) مانند روشی کاملاً نامرغوب و حتی بی‌فایده برای تفکر نشان داد، زیرا شما هرگز نمی‌توانید مطمئن باشید که الگویی که امروز مشاهده می کنید، فردا ادامه خواهد یافت. او استدلال استنتاجی را راه درست می‌دانست، زیرا نتیجه به‌طور بایسته و ضروری، از مجموعه‌ای از پیش فرض‌ها یا فرضیه‌ها به دست می‌آید.

وقتی به حوزه ریاضیات محدود ‌شویم، این روش آموزش، خیلی اشتباه نیست. دنبال کردن الگوها در موارد خاص می‌تواند در فرموله کردن قضایای جدید مفید باشد، اما این اثبات است نه الگو که قضیه را معتبر می‌سازد. از سوی دیگر، از هندسه اقلیدسی می‌توانید نتیجه بگیرید که سطح هر دایره، مهم نیست چقدر بزرگ باشد یا چقدر کوچک، دقیقا ً πr^۲ است و π با اعشاری بیشتر از آنچه شما نیاز دارید محاسبه شده است.

با این حال، در علم، استدلال استقرایی اجتناب‌ناپذیر است. شما می‌توانید به طور استنتاجی از قانون جاذبه نیوتن به عنوان یک فرضیه استفاده کنید، اما خود قانون بر مشاهدات جاذبه در میان سیارات، ماه، تعادل پیچشی  و… استوار است. اعتبار و ارزش پیش بینی آن فقط تا آنجا که آزمایش شده گسترش می‌یابد. حتی در مقیاس‌های بزرگ‌تر، اعتماد ما به رابطه مجذور معکوس و مقدار G، توسط دقت اندازه‌گیری محدود می‌شود.

اگر حق با معلم هندسه باشد، مجبوریم نتیجه بگیریم با وجود اینکه می‌توانیم به طور موثق از دایره‌ها اطلاع داشته باشیم، اما هیچ چیز در مورد جاذبه نمی‌دانیم. واضح است که این نتیجه‌گیری درست نیست و هیچ‌کس اینگونه فکر نمی‌کند. حتی نوابیغی (نوابیغ اصطلاح شوخی‌آمیزی است که در اصطلاح ریاضی‌کاران ایرانی به کسانی اطلاق می‌شود که سعی در حل مسئله‌های غیرممکن یا بسیار دشوار ریاضیات دارند) که ادعا می‌کنند نظریه نسبیت عام را نقض کرده‌اند، باور دارند وقتی سیب را رها کنید، سقوط می‌کند.

درک دانش آموزان باید از جایی شروع شود و شاید منطقی نباشد که از آن‌ها انتظار داشته باشیم همه ظرافت‌های این حوزه‌ها را درست از ابتدا درک کنند، اما اگر دانش آموزان به خوبی توجه نکنند، دیدگاهی تحریف‌شده در مورد نحوه کار علم و ریاضیات در تولید دانش خواهند آموخت. اما اگر توجه و دقت بیشتری داشته باشند، می‌توانند به روش‌هایی که گاهی اوقات ما را غافلگیر می‌کنند، دست بزنند.